Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника - это важная характеристика в геометрии, которая имеет строгую математическую формулу и практическое применение в различных расчетах.
Содержание
Формула суммы углов выпуклого многоугольника
Для любого выпуклого n-угольника сумма внутренних углов вычисляется по формуле:
S = (n - 2) × 180°
где n - количество сторон (углов) многоугольника.
Примеры расчетов
| Фигура | Количество сторон (n) | Сумма углов |
| Треугольник | 3 | (3-2)×180° = 180° |
| Четырехугольник | 4 | (4-2)×180° = 360° |
| Пятиугольник | 5 | (5-2)×180° = 540° |
| Шестиугольник | 6 | (6-2)×180° = 720° |
Доказательство формулы
Формула выводится следующим образом:
- Из любой вершины n-угольника проводим все возможные диагонали
- Диагонали разбивают многоугольник на (n-2) треугольника
- Сумма углов каждого треугольника равна 180°
- Общая сумма углов многоугольника равна сумме углов всех полученных треугольников
Свойства выпуклых многоугольников
- Все внутренние углы меньше 180°
- Любая диагональ лежит внутри многоугольника
- Сумма внешних углов всегда равна 360° (при обходе по часовой стрелке)
- Количество диагоналей вычисляется по формуле n(n-3)/2
Практическое применение
Знание суммы углов многоугольника используется в:
- Архитектуре и строительстве
- Компьютерной графике
- Геодезии
- Конструировании
- Решение геометрических задач
Особые случаи
Для правильных выпуклых многоугольников (у которых все стороны и углы равны):
Величина каждого внутреннего угла = (n-2)×180° / n
Например, для правильного шестиугольника каждый угол равен (6-2)×180° / 6 = 120°.
